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  多项式中,每一都含有的公共的因式叫做这个多项式的公因式。通常,某些多项式的各项或一些项有公因式,那么,我们可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式或多个因式的乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法。

  分组分解法是分解较复杂的多项式的一种方法,在能分组的多项式往往有四项或者更多,一般分组为两两分组或三一分组,常用于多项式中的某些项分别进行合并后会有公因式或者可用公式化简等。

  十字左边相乘等于二次项系数,右边相乘等于常数项,交叉相乘再相加等于一次项系数。其实就是运用乘法公式(x+a)(x+b)=x+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解。

  分解形如ax+bxy+cy+dx+ey+f 的二次六项式在草稿纸上,将a分解成mn乘积作为一列,c分解成pq乘积作为第二列,f分解成jk乘积作为第三列,如果mq+np=b,pk+qj=e,mk+nj=d,即第1,2列、第2,3列和第1,3列都满足十字相乘规则。

  F[x]中任一个次数不小于 1的多项式都可以分解为F上的不可约多项式的乘积,而且除去因式的次序以及常数因子外,分解的方法是惟一的。

  当F是复数域C时,根据代数基本定理,可证C[x]中不可约多项式都是一次的。因此,每个复系数多项式都可分解成一次因式的连乘积。

  当F是实数域R时,由于实系数多项式的虚根是成对出现的,即虚根的共轭数仍是根,因此R[x]中不可约多项式是一次的或二次的。

  所以每个实系数多项式都可以分解成一些一次和二次的不可约多项式的乘积。实系数二次多项式αx2+bx+с不可约的充分必要条件是其判别式b2-4αс0。

  当F是有理数域Q时,情况复杂得多。要判断一个有理系数多项式是否不可约,银河电子游戏网址就较困难。应用本原多项式理论,可把有理系数多项式的分解问题化为整系数多项式的分解问题。

  一个整系数多项式如其系数是互素的,则称之为本原多项式。每个有理系数多项式都可表成一个有理数及一个本原多项式的乘积。

  1、因式分解与解高次方程有密切的关系。对于一元一次方程和一元二次方程,初中已有相对固定和容易的方法。在数学上可以证明,对于一元三次方程和一元四次方程,也有固定的公式可以求解。只是因为公式过于复杂,在非专业领域没有介绍。

  对于分解因式,三次多项式和四次多项式也有固定的分解方法,只是比较复杂。对于五次以上的一般多项式,已经证明不能找到固定的因式分解法,五次以上的一元方程也没有固定解法。银河电子游戏网址

  2、 所有的三次和三次以上的一元多项式在实数范围内都可以因式分解,所有的二次或二次以上的一元多项式在复数范围内都可以因式分解。这看起来或许有点不可思议。比如x4+1,这是一个一元四次多项式,看起来似乎不能因式分解。

  但是它的次数高于3,所以一定可以因式分解。也可以用待定系数法将其分解,只是分解出来的式子并不整洁。(这是因为,由代数基本定理可知n次一元多项式总是有n个根,也就是说,n次一元多项式总是可以分解为n个一次因式的乘积。

  并且还有一条定理:实系数多项式的虚数根两两共轭的,将每对共轭的虚数根对应的一次因式相乘,可以得到二次的实系数因式,从而这条结论也就成立了。)

  3、因式分解虽然没有固定方法,但是求两个多项式的公因式却有固定方法。因式分解很多时候就是用来提公因式的。寻找公因式可以用辗转相除法来求得。

  标准的辗转相除技能对于中学生来说难度颇高,但是中学有时候要处理的多项式次数并不太高,所以反复利用多项式的除法也可以但比较笨,不过能有效地解决找公因式的问题。

  多项式中,每一都含有的公共的因式叫做这个多项式的公因式。通常,某些多项式的各项或一些项有公因式,那么,我们可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式或多个因式的乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法。

  分组分解法是分解较复杂的多项式的一种方法,在能分组的多项式往往有四项或者更多,一般分组为两两分组或三一分组,常用于多项式中的某些项分别进行合并后会有公因式或者可用公式化简等。

  十字左边相乘等于二次项系数,右边相乘等于常数项,交叉相乘再相加等于一次项系数。其实就是运用乘法公式(x+a)(x+b)=x+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解。

  分解形如ax+bxy+cy+dx+ey+f 的二次六项式在草稿纸上,将a分解成mn乘积作为一列,c分解成pq乘积作为第二列,f分解成jk乘积作为第三列,如果mq+np=b,pk+qj=e,mk+nj=d,即第1,2列、第2,3列和第1,3列都满足十字相乘规则。则原式=(mx+py+j)(nx+qy+k)。也叫长十字相乘法。

  4、结果最后只留下小括号,分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。

  5、结果的多项式首项一般为正。 在一个公式内把其公因子抽出,即透过公式重组,然后再抽出公因子。

  分解二次三项式时,我们常用十字相乘法.对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f),我们也可以用十字相乘法分解因式.

  例如,分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3.我们将上式按x降幂排列,并把y当作常数,于是上式可变形为

  上述因式分解的过程,实施了两次十字相乘法.如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起,可得到下图:

  用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是:

  (1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2,得到一个十字相乘图(有两列);

  (2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上,要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey,第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx.

  我们把形如anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式,并用f(x),g(x),…等记号表示,如

  定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根,即f(a)=0成立,则多项式f(x)有一个因式x-a.

  根据因式定理,找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根.对于任意多项式f(x),要求出它的根是没有一般方法的,然而当多项式f(x)的系数都是整数时,即整系数多项式时,经常用下面的定理来判定它是否有有理根.

  的根,则必有p是a0的约数,q是an的约数.特别地,当a0=1时,整系数多项式f(x)的整数根均为an的约数.

  我们根据上述定理,用求多项式的根来确定多项式的一次因式,从而对多项式进行因式分解.

  分析这是一个整系数一元多项式,原式若有整数根,必是-4的约数,逐个检验-4的约数:±1,±2,±4,只有

  说明在上述解法中,特别要注意的是多项式的有理根一定是-4的约数,反之不成立,即-4的约数不一定是多项式的根.因此,必须对-4的约数逐个代入多项式进行验证.

  说明若整系数多项式有分数根,可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式,如上题中的因式

  总之,对一元高次多项式f(x),如果能找到一个一次因式(x-a),那么f(x)就可以分解为(x-a)g(x),而g(x)是比f(x)低一次的一元多项式,这样,我们就可以继续对g(x)进行分解了.

  待定系数法是数学中的一种重要的解题方法,应用很广泛,这里介绍它在因式分解中的应用.

  在因式分解时,一些多项式经过分析,可以断定它能分解成某几个因式,但这几个因式中的某些系数尚未确定,这时可以用一些字母来表示待定的系数.由于该多项式等于这几个因式的乘积,根据多项式恒等的性质,两边对应项系数应该相等,或取多项式中原有字母的几个特殊值,列出关于待定系数的方程(或方程组),解出待定字母系数的值,这种因式分解的方法叫作待定系数法.

  若原式可以分解因式,那么它的两个一次项一定是x+2y+m和x+y+n的形式,应用待定系数法即可求出m和n,使问题得到解决.

  分析本题所给的是一元整系数多项式,根据前面讲过的求根法,若原式有有理根,则只可能是±1,±7(7的约数),经检验,它们都不是原式的根,所以,在有理数集内,原式没有一次因式.如果原式能分解,只能分解为(x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式.

  说明由于因式分解的唯一性,所以对b=-1,d=-7等可以不加以考虑.本题如果b=1,d=7代入方程组后,无法确定a,c的值,就必须将bd=7的其他解代入方程组,直到求出待定系数为止.

  本题没有一次因式,因而无法运用求根法分解因式.但利用待定系数法,使我们找到了二次因式.由此可见,待定系数法在因式分解中也有用武之地.

  即和差化积,其最后结果要分解到不能再分为止。而且可以肯定一个多项式要能分解因式,则结果唯一,因为:数域F上的次数大于零的多项式f(x),如果不计零次因式的差异,那么f(x)可以唯一的分解为以下形式:

  (*)或叫做多项式f(x)的典型分解式。证明:可参见《高代》P52-53

  如果多项式各项都有公共因式,则可先考虑把公因式提出来,进行因式分解,注意要每项都必须有公因式。

  解析显然每项均含有公因式5x故可考虑提取公因式5x,接下来剩下x2+2x+1仍可继续分解。

  即多项式如果满足特殊公式的结构特征,即可采用套公式法,进行多项式的因式分解,故对于一些常用的公式要求熟悉,除教材的基本公式外,银河电子游戏网址数学竞赛中常出现的一些基本公式现整理归纳如下:

  说明由因式定理,即对一元多项式f(x),若f(b)=0,则一定含有一次因式x-b。可判断当n为偶数时,当a=b,a=-b时,均有an-bn=0故an-bn中一定含有a+b,a-b因式。

  当多项式的项数较多时,可将多项式进行合理分组,达到顺利分解的目的。当然可能要综合其他分法,且分组方法也不一定唯一。

  在分解二次三项式时,十字相乘法是常用的基本方法,对于比较复杂的多项式,尤其是某些二次六项式,如4x2-4xy-3y2-4x+10y-3,也可以运用十字相乘法分解因式,其具体步骤为:

  (2)把常数项分解成两个因式填在第二个十字的右边且使这两个因式在第二个十字中交叉之积的和等于原式中含y的一次项,同时还必须与第一个十字中左端的两个因式交叉之积的和等于原式中含x的一次项

  对于一些多项式,如果不能直接因式分解时,可以将其中的某项拆成二项之差或之和。再应用分组法,公式法等进行分解因式,其中拆项、添项方法不是唯一,可解有许多不同途径,对题目一定要具体分析,选择简捷的分解方法。

  待定系数法是解决代数式恒等变形中的重要方法,如果能确定代数式变形后的字母框架,只是字母的系数高不能确定,则可先用未知数表示字母系数,然后根据多项式的恒等性质列出n个含有特殊确定系数的方程(组),解出这个方程(组)求出待定系数。待定系数法应用广泛,在此只研究它的因式分解中的一些应用。

  注对于(*)式因为对a,b取任何值等式都成立,也可用令特殊值法,求m,n

  由因式定理可先判断它是否含有一次因式(x-)(其中p,q互质),p为首项系数an的约数,q为末项系数a0的约数

  分解因式的方法是多样的,且其方法之间相互联系,一道题很可能要同时运用多种方法才可能完成,故在知晓这些方法之后,一定要注意各种方法灵活运用,牢固掌握!

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